부등식 판별식: 완벽 마스터를 위한 핵심 가이드

이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지입니다. 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보겠습니다. 판별식은 이차방정식의 근의 개수를 판별하는 데 사용됩니다. 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 판별식 D는 다음과 같이 정의됩니다. $D = b^2 - 4ac$ 판별식 D의 값에 따라 이차방정식의 근의 개수는 다음과 같이 결정됩니다. D > 0: 서로 다른 두 실근을 가짐
D = 0: 중근을 가짐
D < 0: 실근을 가지지 않음 (허근을 가짐) 이차부등식의 해는 이차방정식의 근을 이용하여 구할 수 있습니다. 이차부등식 $ax^2 + bx + c > 0$의 해는 다음과 같습니다.

D > 0: 이차방정식의 두 근을 $x_1$, $x_2$라고 하면, $x < x_1$ 또는 $x > x_2$
D = 0: 이차방정식의 중근을 $x_0$라고 하면, $x < x_0$ 또는 $x > x_0$
D < 0: 모든 실수 $x$에 대해 $ax^2 + bx + c > 0$

이차부등식 $ax^2 + bx + c < 0$의 해는 다음과 같습니다. D > 0: 이차방정식의 두 근을 $x_1$, $x_2$라고 하면, $x_1 < x < x_2$ D = 0: 이차방정식의 중근을 $x_0$라고 하면, $x_0 < x < x_0$ (해가 없음) D < 0: 모든 실수 $x$에 대해 $ax^2 + bx + c < 0$ 이차부등식 $ax^2 + bx + c ≥ 0$의 해는 다음과 같습니다. D > 0: 이차방정식의 두 근을 $x_1$, $x_2$라고 하면, $x ≤ x_1$ 또는 $x ≥ x_2$
D = 0: 이차방정식의 중근을 $x_0$라고 하면, $x ≤ x_0$ 또는 $x ≥ x_0$
D < 0: 모든 실수 $x$에 대해 $ax^2 + bx + c ≥ 0$ 이차부등식 $ax^2 + bx + c ≤ 0$의 해는 다음과 같습니다. D > 0: 이차방정식의 두 근을 $x_1$, $x_2$라고 하면, $x_1 ≤ x ≤ x_2$
D = 0: 이차방정식의 중근을 $x_0$라고 하면, $x_0 ≤ x ≤ x_0$ (해는 $x = x_0$)
D < 0: 모든 실수 $x$에 대해 $ax^2 + bx + c ≤ 0$ 즉, 이차부등식의 해는 판별식의 값에 따라 달라지며, 이차방정식의 근을 이용하여 구할 수 있습니다. 따라서 이차부등식을 풀 때는 판별식의 값을 먼저 확인하는 것이 중요합니다.

이차방정식의 완전제곱식 만들기: 핵심은 상수항!

이차방정식을 완전제곱식으로 만들 때 가장 중요한 것은 상수항입니다. x² + 2ax + a² 에서 상수항 a² 는 일차항의 계수 2a 를 2 로 나눈 후 제곱한 값과 같습니다.

예를 들어, x² + 6x + 9 를 완전제곱식으로 만들려면 일차항의 계수 6 을 2 로 나눈 3 을 제곱하여 9 를 상수항으로 만들어야 합니다. 이렇게 하면 (x + 3)² 와 같이 완전제곱식으로 나타낼 수 있습니다.

왜 상수항이 중요할까요? 완전제곱식은 이차방정식의 해를 구하는데 매우 유용합니다. 완전제곱식을 이용하면 이차방정식을 간단하게 인수분해할 수 있고, 이를 통해 방정식의 해를 쉽게 찾을 수 있습니다.

x² + 2ax + a² 의 경우, 이차항의 계수 2a 를 2 로 나눈 a 를 제곱한 값이 a² 이기 때문에 (x + a)² 와 같이 완전제곱식으로 나타낼 수 있습니다. 이 때, a² 가 바로 상수항의 역할을 하는 것입니다.

이차방정식을 완전제곱식으로 만들 때 상수항을 어떻게 찾아야 하는지 헷갈리시나요? 걱정하지 마세요! 다음과 같은 방법을 활용하면 쉽게 상수항을 찾을 수 있습니다.

1. 일차항의 계수를 2로 나눕니다.
2. 1에서 구한 값을 제곱합니다.
3. 2에서 구한 값이 바로 상수항입니다.

이제 이차방정식을 완전제곱식으로 만들어 해를 구하는 연습을 해 보세요!

판별식 D≤0를 구하면 이차부등식의 해가 존재하지 않도록 하는 a값을 찾아낼 수 있어요. 판별식을 단순히 외우면 안 되고, 이해해야 합니다.

이차방정식의 근의 공식을 보면, 판별식 D는 근의 공식에서 제곱근 안의 값을 나타냅니다. 판별식 D가 음수이면, 제곱근 안에 음수가 들어가게 되고, 그 결과는 허수가 됩니다. 허수는 실제로 존재하지 않는 수이기 때문에, 이차방정식의 해는 실수가 아닌 허수가 되는 거예요.

예를 들어, 이차방정식 x² + 2x + 5 = 0의 판별식을 구해보면, D = 2² – 4 * 1 * 5 = -16으로 음수입니다. 이는 이차방정식의 해가 허수라는 것을 의미해요.

이차부등식의 경우, 판별식 D의 부호에 따라 해의 존재 유무가 달라집니다. 판별식 D가 음수이면 이차부등식의 해가 존재하지 않습니다. 왜냐하면 이차부등식의 해는 이차방정식의 근을 포함하는 구간으로 나타나기 때문입니다. 이차방정식의 근이 허수이면, 해당 구간은 존재하지 않게 되어 이차부등식의 해 또한 존재하지 않는 거예요.

판별식을 이해하면 이차방정식과 이차부등식의 해를 더 쉽게 파악할 수 있어요. 단순히 공식을 외우기보다는 판별식의 의미를 이해하고, 문제에 적용해 보는 것이 중요합니다.

이차부등식이 항상 성립하려면 최고차항의 계수와 판별식 D를 함께 고려해야 합니다. 이차부등식의 모양과 항상 성립하는 조건은 밀접한 관계가 있습니다.

이차부등식 $ax^2 + bx + c > 0$ (또는 $ax^2 + bx + c < 0$) 가 항상 성립하려면 다음 두 가지 조건을 만족해야 합니다. 1. 최고차항의 계수: $a > 0$ 이면 위로 볼록한 포물선을 그리며, $a < 0$ 이면 아래로 볼록한 포물선을 그립니다. * $a > 0$ 이고 판별식 $D < 0$ 이면 x축과 만나지 않는 위로 볼록한 포물선을 그리므로 부등식은 항상 양수가 됩니다. * $a < 0$ 이고 판별식 $D < 0$ 이면 x축과 만나지 않는 아래로 볼록한 포물선을 그리므로 부등식은 항상 음수가 됩니다. 2. 판별식:판별식 $D = b^2 - 4ac$ 는 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 근의 개수를 결정합니다. * $D < 0$ 이면 실근이 없어 x축과 만나지 않고 항상 같은 부호를 유지합니다. * $D = 0$ 이면 중근이 존재하며 x축과 한 점에서 만나 항상 같은 부호를 유지합니다. * $D > 0$ 이면 두 개의 실근이 존재하며 x축과 두 점에서 만나 부호가 바뀌는 구간이 존재합니다.

예를 들어, $x^2 + 2x + 3 > 0$ 이라는 부등식을 살펴봅시다. 이 부등식의 최고차항의 계수는 1 ($a > 0$)이고, 판별식 $D = 2^2 – 4 \times 1 \times 3 = -8$ ($D < 0$) 입니다. 따라서 이 부등식은 항상 양수가 됩니다. 반대로, $-x^2 - 2x - 1 < 0$ 이라는 부등식을 살펴봅시다. 이 부등식의 최고차항의 계수는 -1 ($a < 0$)이고, 판별식 $D = 2^2 - 4 \times (-1) \times (-1) = 0$ ($D = 0$) 입니다. 따라서 이 부등식은 항상 음수가 됩니다. 결론적으로, 이차부등식이 항상 성립하는 조건은 최고차항의 계수와 판별식의 값에 따라 결정됩니다. 이 두 가지 조건을 잘 이해하면 이차부등식이 항상 성립하는지 쉽게 판단할 수 있습니다.

고등수학(상) 이차부등식이 항상 성립할 조건 (개념+수학문제)

이차부등식이 항상 성립하는 조건을 찾는 것은 이차함수와 밀접한 관련이 있습니다. 이차부등식을 이차함수로 생각해보면, 판별식을 이용하여 항상 성립하는 조건을 쉽게 파악할 수 있습니다.

이차함수와 판별식의 관계를 떠올려 보세요. 판별식은 이차방정식의 근의 개수를 알려주는 중요한 지표입니다. 이차방정식의 근의 개수에 따라 이차함수의 그래프는 x축과 만나는 점의 개수가 달라집니다.

판별식이 양수이면 이차방정식은 실근을 두 개 갖고, 이차함수의 그래프는 x축과 두 점에서 만납니다.
판별식이 0이면 이차방정식은 실근을 하나 갖고, 이차함수의 그래프는 x축과 한 점에서 만납니다.
판별식이 음수이면 이차방정식은 실근을 갖지 않고, 이차함수의 그래프는 x축과 만나지 않습니다.

이차부등식이 항상 성립하려면 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않아야 합니다. 즉, 판별식이 음수여야 합니다.

예를 들어 ax² + bx + c > 0 이라는 이차부등식이 항상 성립하려면, 이차함수 y = ax² + bx + c 의 그래프가 x축 위에 항상 위치해야 합니다. 이는 판별식 D = b² – 4ac 가 음수라는 것을 의미합니다.

다음은 이차부등식이 항상 성립할 조건을 판별식을 이용하여 찾는 방법을 보여주는 예시입니다.

문제: x² + 2x + 5 > 0 이 항상 성립하는 조건을 구하세요.

풀이:

1. 이차함수 y = x² + 2x + 5 의 판별식 D 를 구합니다.
* D = 2² – 4 * 1 * 5 = -16

2. 판별식 D가 음수이므로, 이차함수의 그래프는 x축과 만나지 않습니다. 따라서 이차부등식 x² + 2x + 5 > 0 은 모든 실수 x에 대해 항상 성립합니다.

결론:이차부등식이 항상 성립하려면 이차함수의 판별식이 음수여야 합니다. 이를 이용하여 이차부등식의 해를 구할 수 있습니다.

2019년 6월 전국연합 고1 19번 문제 풀이: 이차방정식의 판별식과 연립부등식

2019년 6월 전국연합 고1 19번 문제는 이차방정식의 판별식과 연립부등식을 혼합하여 출제되었어요. 문제를 풀어보면서 이 두 가지 개념을 익혀볼까요?

문제: 다음은 x에 대한 방정식 (x² + ax + a)(x² + x + 1) = 0 이 서로 다른 네 개의 실근을 갖도록 하는 실수 a의 값의 범위를 구하는 문제입니다.

해설:

1. 이차방정식의 판별식:
먼저 주어진 방정식이 서로 다른 네 개의 실근을 갖는다는 조건을 살펴봐요.
x² + ax + a = 0 과 x² + x + 1 = 0 이 각각 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 합니다.

x² + ax + a = 0 이 서로 다른 두 개의 실근을 갖기 위해서는 판별식 D = a² – 4a > 0 이어야 합니다.
x² + x + 1 = 0 이 서로 다른 두 개의 실근을 갖기 위해서는 판별식 D = 1² – 4 * 1 * 1 = -3 < 0 이어야 합니다. 2. 연립부등식: 위에서 얻은 두 부등식 a² - 4a > 0 와 -3 < 0 을 연립하여 풀면 됩니다. a² - 4a > 0 을 풀면 a(a – 4) > 0 이므로, a < 0 또는 a > 4 입니다.

3. 정답:
따라서 a의 값의 범위는 a < 0 또는 a > 4 입니다.

추가 설명:

이 문제는 이차방정식의 판별식과 연립부등식을 함께 활용해야 풀 수 있는 문제입니다.
판별식은 이차방정식의 근의 개수와 종류를 판별하는 중요한 도구이며, 연립부등식은 여러 개의 부등식을 동시에 만족하는 해를 구하는 방법입니다.
이 문제를 풀면서 판별식과 연립부등식의 개념을 익히고, 이를 응용하여 다른 문제를 해결할 수 있는 능력을 키울 수 있습니다.

특히 주의해야 할 점은, 주어진 방정식이 두 개의 이차방정식의 곱으로 이루어져 있다는 것입니다. 이는 각각의 이차방정식이 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 전체 방정식이 서로 다른 네 개의 실근을 갖는다는 것을 의미합니다.

이 문제를 풀면서 이차방정식의 판별식과 연립부등식에 대한 이해도를 높일 수 있었으면 좋겠습니다.
앞으로 더 다양한 문제를 풀어보면서 이 두 가지 개념을 더욱 익혀보세요!

판별식 조건이 왜 이렇게 구해야 하는지 궁금하시죠? 해설지를 보면서 완전제곱꼴로 된 판별식 조건이 왜 나오는지 이해가 안 되는 것 같아요. 😊

맞아요! 판별식 조건을 완전제곱식 꼴로 구하는 게 아니라 D/4>0 인 부등식을 풀어서 m의 범위를 구하는 게 맞아요.

판별식 조건은 이차방정식의 근의 개수를 판별하는 중요한 도구인데, 완전제곱식 꼴로 나타내면 근의 개수를 더 쉽게 파악할 수 있답니다.

예를 들어, 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 판별식은 D = b² – 4ac 이고, 이 값이 0보다 크면 서로 다른 두 실근을 갖고, 0보다 작으면 서로 다른 두 허근을 갖고, 0과 같으면 중근을 갖는다는 것을 알 수 있어요.

그런데 이차방정식을 완전제곱식 꼴로 변형하면 판별식 조건을 좀 더 직관적으로 이해할 수 있답니다.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 을 완전제곱식 꼴로 변형하면 다음과 같아요.

a(x + b/2a)² – (b²/4a – c) = 0

이 때, (b²/4a – c) 가 판별식의 절반을 제곱한 값과 같아요. 즉, D/4 와 같죠!

D/4 > 0 이라는 조건은 (b²/4a – c) 가 양수라는 의미이고, 이는 완전제곱식 꼴에서 항상 양수인 a(x + b/2a)² 에 양수를 빼주어야만 0보다 작은 값을 만들 수 있다는 것을 의미해요.

따라서, 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 D/4 > 0 이라는 조건을 만족해야 하고, 이는 완전제곱식 꼴로 변형했을 때 항상 양수인 a(x + b/2a)² 에 양수를 빼주어야만 0보다 작은 값을 만들 수 있다는 것을 의미하기 때문에, 판별식 조건을 완전제곱식 꼴로 변형하여 D/4 > 0 을 이용하는 것이 더 효율적이고 직관적이랍니다. 😊